The undecidability of the additive theory of prime numbers (with
identity) as well as the theory Th(N, +, n ↦ p
_n
),
where pn denotes the (n + 1)-th prime, are open questions. In a first
part, we show the undecidability of Th(N, +, n ↦ nf(n)) where f is a
good approximation of the enumeration n ↦ p
_n
/n. In a
second part, as a possible approach, we extend the former theory by adding some
extra function. In this direction we show the undecidability of the existential
part of the theory Th(N, +, n ↦ p
_n
, n ↦
r
_n
), where r
_n
is the remainder of pn
divided by n in the euclidian division.
L'indécidabilité de la théorie additive des
nombres premiers ainsi que de la théorie Th(N, +, n ↦
p
_n
), où p
_n
désigne le
(n+1)-ième premier, sont deux questions ouvertes. Dans une
première partie, nous montrons l'indécidabilité de Th(N,
+, n ↦ nf(n)) où f est une bonne approximation de la fonction n
↦ p
_n
/n des nombres premiers. Dans une seconde partie,
nous étendons la première théorie en lui ajoutant une
fonction supplémentaire et nous montrons l'indécidabilité
de la théorie Th(N, +, n ↦ p
_n
, n ↦
r
_n
), où r
_n
désigne le
reste de p
_n
dans la division euclidienne de
p
_n
par n, et même de sa seule partie existentielle.
