Homogenization of unbounded functionals and nonlinear elastomers. The general case

Abstract

The homogenization process for some energies of integral type arising in the modelling of rubber‐like elastomers is carried out. The main feature of the variational problems taken into account is that pointwise oscillating constraints on the admissible deformations, determined by general, not necessarily bounded, constraint sets are involved. The classical homogenization result is established also in this framework, both for Dirichlet with affine boundary data, Neumann, and mixed problems, by proving that the limit energy is again of integral type, gradient constrained, and with an explicitly computed homogeneous density. Some explicit computations for the homogenized integrands relative to energy densities coming from models in literature are also discussed.

Résumé. Le but de ce travail est d'étudier l'homogénéisation d'une classe d'énergies définies par une intégrale et intervenant dans la modélisation du caoutchouc. La principale caractéristique des problémes variationnels attachés à ces énergies est le fait que le gradient des déformations admissibles est soumis à des contraintes ponctuelles oscillantes (non nécessairement bornées). Nous prouvons des résultats d'homogénéisation pour différentes conditions aux limites (de Dirichlet affines, de Neumann et mixtes) et montrons que l'énergie limite est encore du type intégral avec une densité calculée explicitement, en ayant toujours des contraintes sur le gradient. Enfin, un calcul explicite donne l'intégrand homogénéisé pour quelques énergies relatives à la modélisation du caoutchouc.