A complex WKB method for adiabatic problems

Abstract

This work is devoted to a new version of the complex WKB method suited for adiabatic perturbations of one‐dimensional periodic Schrödinger operators. Therefore, we introduce an additional parameter, and it is this parameter (and not the variable of the equation) that will become complex. This naturally leads to canonical domains where we construct solutions of the Schrödinger equation with a standard asymptotic behavior. These can be used to compute the asymptotics of the exponentially small coefficients of transfer matrices (e.g., scattering matrices, monodromy matrices, etc.). We give an example of such a computation.

Résumé. Ce travail est consacré à une nouvelle version de la méthode BKW complexe adaptée à l'étude des perturbations adiabatiques d'équations de Schrödinger périodiques en dimension 1. Nous introduisons un paramètre supplémentaire; c'est ce paramètre qui sera rendu complexe (au lieu de la variable de l'équation). Ceci nous conduit de façon naturelle à la définition des domaines canoniques dans lesquels on construit des solutions aux comportements asymptotiques connus. Ces développements asymptotiques peuvent être utilisés pour contrôler l'asymptotique des coefficients exponentiellement petits de matrices de transfert (par exemple, de matrices de diffusion, de matrices de monodromie, etc.). On donne un exemple d'un tel calcul.