Etude semi-classique d'une perturbation d'un opérateur de Schrödinger périodique: cas d'un nombre fini de perturbations

Abstract

Sous l'hypothèse V périodique, on étudie dans le cadre de la limite semi-classique (h→0), le spectre de l'opérateur P_t=−h²Δ+V+tδV agissant sur L²(Rⁿ), où t est une constante de couplage positive et δV est une fonction localisée au voisinage de m puits distincts de V. Pour ce faire, on ramène par équivalence unitaire l'étude de l'opérateur P_t à celle d'un noyau de Birman–Schwinger. Cette réduction nous permet alors de montrer l'existence de valeurs propres pour P_t quand |t| n'est pas trop petit (ceci dépendant de la dimension n). Puis on étudie le comportement de ces valeurs propres en fonction de |t| et de la localisation des m puits de V que l'on a perturbé.

Assuming V is periodic, we study the spectrum of the operator P_t=−h²Δ+V+tδV acting on L²(Rⁿ) where t is a positive coupling constant and δV is a function with support localized near m distinct wells of V. This study is done in the semiclassical limit h→0. We first show that P_t restricted to some convenient energy interval is unitarily equivalent to an operator that one may study using a Birman–Schwinger kernel. Using this reduction, we show the existence of eigenvalues for P_t when |t| is not too small (depending on n), and we study the behaviour of these eigenvalues with respect to |t| and to the localization of the m perturbed wells of V.