Classification analytique de champs de vecteurs 1-résonnants de (C n,0)

Abstract

Nous étudions les champs de vecteurs analytiques X de (Cⁿ,0) à partie linéaire diagonale non-nulle et dont les valeurs propres λ_i satisfont d'une part à des relations de résonnance toutes engendrées par une seule relation r₁λ₁+…+r_nλ_n=0 avec des r_i∈N non tous nuls, et d'autre part à une condition de petits diviseurs diophantiens. Nous montrons que lorsque x₁^r₁…x_n^r_n n'est pas une intégrale première d'une forme normale de X, alors X admet une forme normale polynômiale. Si cette dernière vérifie certaines hypothèses, nous obtenons une classification analytique des champs formellement équivalents à cette forme normale. Dans le cas particulier de la dimension 2, nous retrouverons les classifications de Martinet-Ramis sans distinguer le cas d'une valeur propre nulle du cas où le rapport des valeurs propres est un rationnel négatif.