Stabilisation de l'équation des ondes au moyen d'un feedback portant sur la condition aux limites de Dirichlet

Abstract

On étudie l'équation des ondes y″−Δy=0 dans Ω×(0,∞) (Ω est un domaine borné et régulier de Rⁿ) avec les conditions aux limites dissipatives y=(∂/∂v)(Gy′) sur ∂Ω×(0,∞), où G=(−Δ)⁻¹:H⁻¹(Ω)→H₀¹(Ω), et des donnees initiales dans L²(Ω)×H⁻¹(Ω). On démontre, par des méthodes de l'analyse microlocale, que toute solution {y(t),y′(t)} converge vers zéro exponentiellement dans L²(Ω)×H⁻¹(Ω) lorsque t→+∞. On démontre en fait la stabilisation pour toute une classe de conditions aux limites qui contient celles ci-dessus et les conditions aux limites classiques y′+∂y/∂v=0. On étudie finalement, par les mêmes méthodes, les conditions aux limites absorbantes.

We consider the wave equation y″−Δy=0 in Ω×(0,∞) with boundary conditions y=∂/∂v(Gy′) on ∂Ω×(0,∞) where G=(−Δ)⁻¹:H⁻¹(Ω)→H₀¹(Ω) and initial data in L²(Ω)×H⁻¹(Ω). We prove, by microlocal analysis techniques, that every solution {y(t),y′(t)} decays exponentially to zero in L²(Ω)×H⁻¹(Ω) as t→+∞. In fact, we prove a stabilization result for a class of boundary conditions containing the one above and the classical y′+∂y/∂v=0. We also treat, by the same methods, the wave equation with absorbing boundary conditions.