Stability and decay for a class of nonlinear hyperbolic problems

Abstract

On considère des équations d'évolution abstraites de la forme u″+Lu+B(t,u′)=0, où L∈ℒ(V,V′), V étant un espace de Hilbert tel que V⊂L²(Ω) (Ω ouvert borné de Rⁿ) avec injection continue et dense et {B(t,·)}_t≥0 est une famille d'opérateurs non-linéaires qui envoient V dans V′. Lorsque L est coercif dans V, on donne, en imposant des conditions de coercivité et de croissance sur {B(t,·)}_t≥0, des estimations sur la vitesse de convergence vers zéro de la différence de deux solutions quelconques du problème. La technique qu'on utilise repose sur la construction de fonctionnelles d'énergie (de Liapunov) adaptées au problème et pour lesquelles on obtient des inégalités différentielles conduisant aux estimations désirées. Les résultats s'appliquent, par exemple, à l'équation des ondes semilinéaire dissipative

u_tt−Δu+g(u_t)=h dans R⁺×Ω,

u=0 sur R⁺ ×∂Ω

On démontre, en particulier, que si h∈L^∞(R⁺,L²(Ω)), g(s)~|s|^p−1s lorsque |s|→0 avec p > 1 et g(s)~|s|^q−1s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, la norme dans l'espace de l'énergie de la différence de deux solutions quelconques du problème tend vers zéro comme t^−1/(p−1) lorsque t→+∞. Par ailleurs, lorsque le noyau de l'opérateur L est non-trivial, on estime la vitesse de convergence des solutions vers le noyau. Lorsque le noyau est unidimensionnel, on démontre la convergence de chaque trajectoire precompacte vers un état d'equilibre. Ces résultats s'appliquent à une équation des ondes de la forme

u_tt−Δu−λ₁u+g(u_t)=0 dans R⁺×Ω,

u=0 sur R⁺×∂Ω

λ₁ étant la première valeur propre de −Δ dans H¹₀(Ω). On démontre, en particulier, que si g(s)~|s|^p−1s lorsque |s|→0 avec p∈[1,2[ et g(s)~|s|^q−1s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, alors pour chaque solution u il existe c∈R tel que u(t)→cζ₁ dans H¹₀(Ω) lorsque t→+∞, où ζ₁ désigne une fonction propre associée à λ₁.